Differentialekvation, matematisk sats som innehåller ett eller flera derivat - det vill säga termer som representerar förändringsgraden för kontinuerligt varierande mängder. Differentialekvationer är mycket vanliga inom vetenskap och teknik, liksom inom många andra områden för kvantitativ studie, eftersom det som kan observeras och mätas direkt för system som genomgår förändringar är deras förändringshastigheter. Lösningen av en differentiell ekvation är i allmänhet en ekvation som uttrycker det funktionella beroendet av en variabel på en eller flera andra; den innehåller vanligtvis konstanta termer som inte finns i den ursprungliga differentiella ekvationen. Ett annat sätt att säga detta är att lösningen av en differentiell ekvation ger en funktion som kan användas för att förutsäga beteendet hos det ursprungliga systemet, åtminstone inom vissa begränsningar.
analys: Newton och differentiella ekvationer
tillämpningen av analysen är differentiella ekvationer, som relaterar förändringsgraden för olika kvantiteter till deras nuvarande värden,
Differentialekvationer klassificeras i flera breda kategorier, och dessa är i sin tur ytterligare indelade i många underkategorier. De viktigaste kategorierna är vanliga differentiella ekvationer och partiella differentiella ekvationer. När funktionen som är involverad i ekvationen endast beror på en enda variabel, är dess derivat vanliga derivat och differensekvationen klassificeras som en vanlig differensekvation. Å andra sidan, om funktionen beror på flera oberoende variabler, så att dess derivat är partiella derivat, klassificeras differentialekvationen som en partiell differentiell ekvation. Följande är exempel på vanliga differentiella ekvationer:
I dessa står y för funktionen, och antingen t eller x är den oberoende variabeln. Symbolerna k och m används här för att stå för specifika konstanter.
Oavsett vilken typ det kan vara, sägs en differentiell ekvation vara av den n: e ordningen om den involverar ett derivat av den nde ordningen men inget derivat av en ordning högre än detta. Ekvationen är ett exempel på en partiell differentiell ekvation av den andra ordningen. Teorierna för vanliga och partiella differentiella ekvationer är markant olika, och av dessa skäl behandlas de två kategorierna separat.
Istället för en enda differentiell ekvation kan studiens objekt vara ett system med sådana ekvationer samtidigt. Formuleringen av dynamiklagarna leder ofta till sådana system. I många fall kan en enda differentiell ekvation av den n: e ordningen med fördel ersättas av ett system med n samtidiga ekvationer, som var och en är av den första ordningen, så att tekniker från linjär algebra kan tillämpas.
En vanlig skillnadsekvation där till exempel funktionen och den oberoende variabeln betecknas med y och x är i själva verket en implicit sammanfattning av de väsentliga egenskaperna hos y som en funktion av x. Dessa egenskaper skulle förmodligen vara mer tillgängliga för analys om en uttrycklig formel för y skulle kunna produceras. En sådan formel, eller åtminstone en ekvation i x och y (inbegriper inga derivat) som kan dras från differensekvationen, kallas en lösning av differentialekvationen. Processen att dra en lösning från ekvationen med tillämpningar av algebra och kalkyl kallas lösning eller integrering av ekvationen. Det bör emellertid noteras att de differentiella ekvationerna som uttryckligen kan lösas utgör endast en liten minoritet. Således måste de flesta funktioner studeras med indirekta metoder. Till och med dess existens måste bevisas när det inte finns någon möjlighet att producera den för inspektion. I praktiken används metoder från numerisk analys, som involverar datorer, för att erhålla användbara ungefärliga lösningar.
