Formell logik

Semantiska tabletter

Sedan 1980-talet har en annan teknik för att bestämma giltigheten av argument i antingen PC eller LPC fått en viss popularitet, både på grund av att det är enkelt att lära sig och att det är enkelt att implementera det genom datorprogram. Ursprungligen föreslog av den holländska logikern Evert W. Beth, den utvecklades och publicerades mer av den amerikanska matematikern och logikern Raymond M. Smullyan. Med vila på att det är omöjligt att premisserna för ett giltigt argument är sant medan slutsatsen är falsk, försöker denna metod att tolka (eller utvärdera) lokalerna på ett sådant sätt att de samtidigt är nöjda och negationen av slutsatsen är också nöjd. Framgång i en sådan ansträngning skulle visa att argumentet är ogiltigt, medan misslyckande med att hitta en sådan tolkning skulle visa att det var giltigt.

Konstruktionen av ett semantiskt tablå fortskrider på följande sätt: uttrycka förutsättningarna och förnekandet av avslutningen av ett argument i PC med endast negation (∼) och disjunction (∨) som propositionella anslutningar. Eliminera varje förekomst av två negationstecken i en sekvens (t.ex. ∼∼∼∼∼a blir ∼a). Konstruera nu ett träddiagram som grenar nedåt så att varje koppling ersätts av två grenar, en för vänster disjunct och en för höger. Den ursprungliga skillnaden är sant om endera grenen är sann. Hänvisning till De Morgan: s lagar visar att en negation av en disjunktion är sant just i fall negationerna av båda disjuncterna är sanna [dvs. ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. Denna semantiska observation leder till regeln att negationen av en disjunktion blir en gren som innehåller negationen av varje disjunct:

Tänk på följande argument:

Skriva:

Slå nu ut disjunktionen och bilda två grenar:

Endast om alla meningarna i minst en gren är sanna, är det möjligt för de ursprungliga lokalerna att vara sanna och slutsatsen falsk (motsvarande för att slutsatsen förnekas). Genom att spåra linjen uppåt i varje gren till toppen av trädet observerar man att ingen värdering av a i den vänstra grenen kommer att resultera i att alla meningar i den grenen får värdet sant (på grund av närvaron av a och ∼a). På motsvarande sätt gör närvaron av b och ∼b i rätt gren det omöjligt för en värdering att resultera i att alla filialers domar får värdet sant. Dessa är alla möjliga grenar; det är således omöjligt att hitta en situation där lokalerna är sanna och slutsatsen falsk. Det ursprungliga argumentet är därför giltigt.

Denna teknik kan utvidgas för att hantera andra anslutningar:

Vidare, i LPC, måste regler för anpassning av kvantifierade wffs införas. Det är uppenbart att varje gren som innehåller både (∀x) ϕx och ∼ϕy är en där inte alla meningarna i den grenen kan samtidigt uppfyllas (under antagandet av ω-konsistens; se metalogic). Återigen, om alla grenar inte är tillfredsställande samtidigt, är det ursprungliga argumentet giltigt.

Specialsystem för LPC

LPC som beskrivits ovan kan modifieras genom att antingen begränsa eller utöka området för wffs på olika sätt:

• 1. Kampsystem för LPC. Några av de viktigare system som produceras genom begränsningar beskrivs här:

  • a.Det kan krävas att varje predikatvariabel är monadisk medan du fortfarande tillåter ett oändligt antal individuella och predikatvariabler. Atomwffs är då helt enkelt de som består av en predikatvariabel följt av en enda individuell variabel. Annars förblir formationsreglerna som tidigare, och definitionen av giltighet är också som tidigare, men förenklad på uppenbara sätt. Detta system är känt som den monadiska LPC; det ger en logik över egenskaper men inte för relationer. En viktig egenskap hos detta system är att det är avgörbart. (Införandet av till och med en enda dyadisk predikatvariabel skulle emellertid göra systemet obeslutbart, och i själva verket till och med systemet som endast innehåller en enda dyadisk predikatvariabel och inga andra predikatvariabler alls har visat sig vara obeslutbart.)

  • bA fortfarande enklare system kan bildas genom att kräva (1) att varje predikatvariabel är monadisk, (2) att endast en enda individuell variabel (t.ex. x) används, (3) att varje förekomst av denna variabel binds, och (4) att ingen kvantifierare förekommer inom ramen för någon annan. Exempel på wffs för detta system är (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] ("Vad som än är ϕ är både ψ och χ"); (∃x) (ϕx · ∼ψx) (“Det är något som är ϕ men inte ψ”); och (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) (“Om vad som är ϕ är ψ, så är något både ϕ och ψ”). Noteringen för detta system kan förenklas genom att utelämna x överallt och skriva ∃ϕ för “Något är ϕ,” ∀ (ϕ ⊃ ψ) för “Vad som än är ϕ är ψ,” och så vidare. Även om detta system är mer rudimentärt även än den monadiska LPC (av vilken det är ett fragment), kan formerna av ett brett spektrum av slutsatser representeras i det. Det är också ett avgörbart system, och beslutsförfaranden av ett elementärt slag kan ges för det.

• 2. Utökningar av LPC. Mer detaljerade system, där ett större utbud av förslag kan uttryckas, har konstruerats genom att lägga till nya LPC-symboler av olika typer. Det enklaste av sådana tillägg är:

  • a. En eller flera enskilda konstanter (säg, a, b,

    ): dessa konstanter tolkas som namn på specifika individer; formellt skiljer de sig från individuella variabler genom att de inte kan förekomma inom kvantifierare; t.ex. (∀x) är en kvantifierare men (∀a) är inte.

  • b.En eller flera predikatskonstanter (säg A, B,

    ), var och en av en viss specifik grad, tänkt som betecknar specifika egenskaper eller relationer.

Ett ytterligare möjligt tillägg, som kräver något fullständigare förklaring, består av symboler utformade för att stå för funktioner. Begreppet en funktion kan förklaras tillräckligt för nuvarande syften enligt följande. Det sägs vara en viss funktion av n argument (eller, grad n) när det finns en regel som anger ett unikt objekt (kallat funktionens värde) när alla argument anges. Inom mänskliga domäner är till exempel ”mamman till” en monadisk funktion (en funktion av ett argument), eftersom det för varje människa finns en unik individ som är hans mor; och inom domänen för de naturliga siffrorna (dvs. 0, 1, 2,

), "Summan av - och -" är en funktion av två argument, eftersom det för alla par naturliga nummer finns ett naturligt tal som är deras summa. En funktionssymbol kan anses bilda ett namn av andra namn (dess argument); alltså, när x- och y-namnnumren, "summan av x och y" också namnger ett nummer, och på liknande sätt för andra typer av funktioner och argument.

För att möjliggöra att funktioner uttrycks i LPC kan det läggas till:

• c.En eller flera funktionsvariabler (säg, f, g,

  ) eller en eller flera funktionskonstanter (säg F, G,

  ) eller båda, var och en av någon specificerad grad. De förstnämnda tolkas som sträcker sig över funktioner för de angivna graderna och de senare som betecknar specifika funktioner för den graden.

När någon eller alla a – c läggs till i LPC, måste formationsreglerna som listas i första stycket i avsnittet om den lägre predikatkalkylen (se ovan Den lägre predikatkalkylen) ändras för att möjliggöra att de nya symbolerna integreras i wffs. Detta kan göras på följande sätt: En term definieras först som antingen (1) en individuell variabel eller (2) en individuell konstant eller (3) vilket uttryck som helst som bildas genom att prefixera en funktionvariabel eller funktionskonstant för grad n till alla n-termer dessa termer - funktionssymbolens argument - separeras vanligtvis med kommatecken och bifogas inom parentes). Formationsregel 1 ersätts sedan av:

• 1′. Ett uttryck som består av en predikatvariabel eller predikatskonstant av grad n följt av n termer är en wff.

Den axiomatiska grunden som ges i avsnittet om axiomatisering av LPC (se ovan Axiomatisering av LPC) kräver också följande modifiering: i axiomschema 2 tillåts varje term att ersätta a när p bildas, förutsatt att ingen variabel som är fri i term blir bunden i β. Följande exempel illustrerar användningen av ovannämnda tillägg till LPC: låt värdena för de enskilda variablerna vara de naturliga siffrorna; låt de enskilda konstanterna a och b stå för siffrorna 2 respektive 3; låt A betyder "är främsta"; och låt F representera den dyadiska funktionen "summan av." Sedan uttrycker AF (a, b) förslaget "Summan av 2 och 3 är prim," och (∃x) AF (x, a) uttrycker förslaget "Det finns ett nummer så att summan av det och 2 är prim ”.

Införandet av konstanter åtföljs vanligtvis av tillägget till den axiomatiska grunden för speciella axiomer som innehåller dessa konstanter, utformade för att uttrycka principer som håller föremål, egenskaper, relationer eller funktioner representerade av dem - även om de inte har objekt, egenskaper, relationer eller funktioner i allmänhet. Det kan till exempel beslutas att använda konstanten A för att representera den dyadiska relationen "är större än" (så att Axy betyder "x är större än y" och så vidare). Denna relation, till skillnad från många andra, är transitiv; dvs. om ett objekt är större än en sekund och den andra i sin tur är större än en tredjedel, är det första större än det tredje. Följaktligen kan följande speciella axiomschema läggas till: om t ₁, t ₂ och t ₃ är några termer, då (Vid ₁ t ₂ · Vid ₂ t ₃) ⊃ Vid ₁ t ₃ är ett axiom. Med sådana medel kan system konstrueras för att uttrycka de logiska strukturerna för olika speciella discipliner. Det område där det mesta arbetet har utförts är det aritmetiska med antalet nummer.

PC och LPC kombineras ibland till ett enda system. Detta kan göras enklast genom att lägga till propositionella variabler i listan över LPC-primitiva, lägga till en formationsregel till effekten att en propositionsvariabel som står ensam är en wff och ta bort "LPC" i axiomschema 1. Detta ger som wffs sådana uttryck som (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx och (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 3.LPC-med-identitet. Ordet "är" används inte alltid på samma sätt. I ett förslag som (1) "Sokrates är snubbig," uttrycker uttrycket före "är" en individ och uttrycket som följer det står för en egenskap som tillskrivs den personen. Men i ett förslag som (2) "Sokrates är den ateniska filosofen som drack hemlock", uttrycker föregående och efter "är" båda namn på individer, och känslan av hela förslaget är att den individ som heter den första är samma person som den som heter den andra. Således kan i 2 "är" utökas till "är samma individ som" medan det i 1 inte kan. Som det används i 2, står "är" för en dyadisk relation - nämligen identitet - som förslaget hävdar att de håller mellan de två individerna. Ett identitetsförslag ska förstås i detta sammanhang som att det inte hävdar mer än detta; i synnerhet är det inte att betrakta att de två namnuttryck har samma betydelse. Ett mycket diskuterat exempel för att illustrera den sista punkten är "Morgonstjärnan är kvällstjärnan." Det är falskt att uttrycket ”morgonstjärnan” och ”kvällstjärnan” betyder detsamma, men det är sant att föremålet som den förra hänvisar till är detsamma som det som den senare hänvisar till (planeten Venus).

För att möjliggöra uttryck för former av identitetsförslag läggs en dyadisk predikatskonstant till LPC, för vilken den vanligaste notationen är = (skriven mellan, snarare än tidigare, dess argument). Den avsedda tolkningen av x = y är att x är samma individ som y, och den bekvämaste avläsningen är "x är identiskt med y." Dess negation ∼ (x = y) är ofta förkortad till x ≠ y. Till definitionen av en LPC-modell som givits tidigare (se ovan Giltighet i LPC) läggs nu regeln (som på ett uppenbart sätt överensstämmer med den avsedda tolkningen) att värdet på x = y ska vara 1 om samma medlem av D tilldelas både x och y och att dess värde annars är 0; giltighet kan sedan definieras som tidigare. Följande tillägg (eller några likvärdiga) görs till den axiomatiska grunden för LPC: axiom x = x och axiomschema som, där a och b är enskilda variabler och α och ß är wffs som skiljer sig bara i det, vid ett eller flera platser där a har en fri förekomst av a, ß har en fri förekomst av b, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) är en axiom. Ett sådant system är känt som en lägre predikat-kalkyl med identitet; det kan naturligtvis ytterligare förstärkas på andra sätt som nämns ovan i "Extensions of LPC", i vilket fall varje term kan vara ett argument av =.

Identitet är en ekvivalensrelation; dvs det är reflexivt, symmetriskt och transitivt. Dess reflexivitet uttrycks direkt i axiom x = x, och teorier som uttrycker dess symmetri och transitivitet kan lätt härledas från den angivna grunden.

Vissa wffs av LPC-med-identitet uttrycker förslag om antalet saker som har en viss egenskap. ”Åtminstone en sak är ϕ” kan naturligtvis redan uttryckas med (∃x) ϕx; ”Åtminstone två distinkta (icke-identiska) saker är ϕ” kan nu uttryckas med (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y); och sekvensen kan fortsättas på ett uppenbart sätt. "Högst en sak är ϕ" (dvs "Inga två distinkta saker är båda ϕ") kan uttryckas genom att den sistnämnda wffen negeras eller med dess ekvivalent, (∀x) (∀y) [(ϕx · ϕy) ⊃ x = y], och sekvensen kan återigen enkelt fortsättas. En formel för "Exakt en sak är ϕ" kan erhållas genom att sammanföra formlerna för "Åtminstone en sak är ϕ" och "Högst en sak är ϕ," men en enklare wff som motsvarar denna konjunktion är (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)], vilket betyder "Det finns något som är ϕ, och allt som är ϕ är den saken." Förslaget "Exakt två saker är ϕ" kan representeras av (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; dvs "Det finns två icke-identiska saker som var och en är ϕ, och allt som är ϕ är det ena eller det andra av dessa." Det är tydligt att denna sekvens också kan utvidgas för att ge en formel för "Exakt n saker är ϕ" för varje naturligt tal n. Det är bekvämt att förkorta wff för “Exakt en sak är ϕ” till (∃! X) ϕx. Denna speciella kvantifierare läses ofta högt som "E-Shriek x."

Definitiva beskrivningar

När en viss egenskap ϕ tillhör ett enda objekt är det bekvämt att ha ett uttryck som namnger det objektet. En vanlig notering för detta ändamål är (ιx) ϕx, som kan läsas som "det som är ϕ" eller kortare som "ϕ." I allmänhet, där a är någon enskild variabel och α är vilken som helst wff, (ιa) α står då för det enskilda värdet på a som gör α sant. Ett uttryck för formen ”så-och-så” kallas en bestämd beskrivning; och (ιx), känd som en beskrivningsoperatör, kan betraktas som att bilda ett namn på en person ur en propositionform. (ιx) är analog med en kvantifierare genom att den, när den är förinställd till en wff α, binder varje fritt förekomst av x i α. Relettering av bundna variabler är också tillåtet; i det enklaste fallet (ιx) ϕx och (ιy) ϕy kan var och en läsas enkelt som "the ϕ."

När det gäller formationsreglerna kan definitiva beskrivningar införlivas i LPC genom att låta uttryck av formen (ιa) α räkna som termer; regel 1 ′ ovan, i "Extensions of LPC," tillåter dem sedan att inträffa i atomformler (inklusive identitetsformler). "Φ är (dvs. har egenskapen) ψ" kan sedan uttryckas som ψ (ιx) ϕx; "Y är (samma person som) ϕ" som y = (ιx) ϕx; “Φ är (samma person som) ψ” som (ιx) ϕx = (ιy) ψy; och så vidare.

Rätt analys av förslag som innehåller bestämda beskrivningar har varit föremål för avsevärda filosofiska kontroverser. En allmänt accepterad redogörelse - i huvudsak den som presenteras i Principia Mathematica och känd som Russells teori om beskrivningar - anser emellertid att "ϕ är ψ" ska förstås som innebär att exakt en sak är ϕ och den saken är också ψ. I så fall kan det uttryckas med en wff av LPC-med-identitet som inte innehåller några beskrivningsoperatörer - nämligen (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Analogt, "y är ϕ" analyseras som "y är ϕ och ingenting annat är ϕ" och därmed som det kan uttryckas av (2) ·y · (∀x) (ϕx ⊃ x = y). "Φ är ψ" analyseras som "Exakt en sak är ϕ, exakt en sak är ψ, och vad som är ϕ är ψ" och därmed uttryckligt med (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). ψ (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx och (ιx) ϕx = (ιy) ψy kan då betraktas som förkortningar för (1), (2) respektive (3); och genom att generalisera till mer komplexa fall kan alla wffs som innehåller beskrivningsoperatörer betraktas som förkortningar för längre wffs som inte gör det.

Analysen som leder till (1) som formel för “The ϕ is ψ” leder till följande för “The ϕ is not ψ”: (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. Det är viktigt att notera att (4) inte är negationen av (1); denna negation är istället (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Skillnaden i betydelse mellan (4) och (5) ligger i det faktum att (4) är sant endast när det exakt är en sak som är ϕ och den saken inte är ψ, men (5) är sant både i detta fall och också när ingenting är ϕ alls och när mer än en sak är ϕ. Försummelse av skillnaden mellan (4) och (5) kan leda till allvarlig tankeförvirring; i vanligt tal är det ofta oklart om någon som förnekar att ϕ är ψ medger att exakt en sak är ϕ men förnekar att det är ψ eller förnekar att exakt en sak är ϕ.

Den grundläggande påståendet i Russells teori om beskrivningar är att ett förslag som innehåller en bestämd beskrivning inte ska betraktas som ett påstående om ett objekt vars beskrivning är ett namn utan snarare som en existentiellt kvantifierad påstående att en viss (ganska komplex) egenskap har en instans. Formellt återspeglas detta i reglerna för att eliminera beskrivningsoperatörer som anges ovan.