Kurt Gödel, Gödel stavade också Goedel, (född 28 april 1906, Brünn, Österrike-Ungern [nu Brno, Tjeckien). - dödJan. 14, 1978, Princeton, NJ, USA), österrikisk-född matematiker, logiker och filosof som erhöll det som kan vara det viktigaste matematiska resultatet av 1900-talet: hans berömda ofullständighetsteorem, som säger att inom något axiomatiskt matematiskt system finns det förslag som inte kan bevisas eller motbevisas på grundval av axiomerna inom det systemet; ett sådant system kan således inte vara samtidigt komplett och konsekvent. Detta bevis etablerade Gödel som en av de största logikerna sedan Aristoteles, och dess följder fortsätter att kännas och diskuteras idag.
grundval av matematik: Gödel
Implicit i Hilberts program hade varit hoppet att den syntaktiska uppfattningen om provbarhet skulle fånga den semantiska uppfattningen om sanning. Gödel
Tidigt liv och karriär
Gödel led under flera perioder med dålig hälsa som barn, efter en anfall vid 6 års ålder med reumatisk feber, vilket gjorde honom rädd för att ha några återstående hjärtproblem. Hans livslånga oro för hans hälsa kan ha bidragit till hans eventuella paranoia, som inkluderade tvångsmässigt rengöring av hans matredskap och oroande sig för hans livs renhet.
Som tyskspråkig österriker befann sig Gödel plötsligt i det nybildade landet Tjeckoslowakien när det österrikisk-ungerska riket bröts upp i slutet av första världskriget 1918. Men sex år senare gick han för att studera i Österrike, vid universitetet i Wien, där han fick sin doktorsexamen i matematik 1929. Han gick med på fakulteten vid universitetet i Wien nästa år.
Under den perioden var Wien ett av världens intellektuella nav. Det var hem till den berömda Wiencirkeln, en grupp forskare, matematiker och filosofer som godkände den naturalistiska, starkt empiriska och antimetafysiska uppfattningen som kallas logisk positivism. Gödels avhandlingsrådgivare, Hans Hahn, var en av ledarna för Wiencirkeln och han introducerade sin stjärnstudent för gruppen. Gödels egna filosofiska åsikter kunde emellertid inte ha varit mer annorlunda än positivisternas. Han prenumererade på platonism, teism och dualism mellan kropp och själ. Dessutom var han också något mentalt instabil och utsatt för paranoia - ett problem som blev värre när han åldrades. Därför lämnade hans kontakt med medlemmarna i Wiencirkeln en känsla av att 1900-talet var fientligt mot hans idéer.
Gödels satser
I sin doktorsavhandling, "Über die Vollständigkeit des Logikkalküls", "publicerad i en något förkortad form 1930", visade Gödel ett av århundradets viktigaste logiska resultat - verkligen av hela tiden - nämligen fullständighetsteoremet, som fastställde att klassisk första ordningslogik, eller predikatberäkning, är fullständig i den meningen att alla första ordningens logiska sanningar kan bevisas i standardiserade system för första ordningen.
Detta var emellertid ingenting jämfört med vad Gödel publicerade 1931 - nämligen den ofullständiga teorem: ”Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme” (”On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems”). Grovt sett fastställde denna teorem resultatet att det är omöjligt att använda den axiomatiska metoden för att konstruera en matematisk teori, i någon gren av matematik, som innebär alla sanningar i den matematikgrenen. (I England hade Alfred North Whitehead och Bertrand Russell ägnat flera år på ett sådant program, som de publicerade som Principia Mathematica i tre bind 1910, 1912 och 1913.) Det är till exempel omöjligt att komma med en axiomatisk matematisk teori som fångar till och med alla sanningar om de naturliga siffrorna (0, 1, 2, 3,
). Detta var ett oerhört viktigt negativt resultat, som före 1931 många matematiker försökte göra just det - konstruera axiomsystem som kunde användas för att bevisa alla matematiska sanningar. Faktum är att flera välkända logiker och matematiker (t.ex. Whitehead, Russell, Gottlob Frege, David Hilbert) tillbringade betydande delar av sin karriär på detta projekt. Tyvärr för dem förstörde Gödels sats hela detta axiomatiska forskningsprogram.
Internationell stjärna och flytta till USA
Efter publiceringen av ofullständighetsteoremet blev Gödel en internationellt känd intellektuell figur. Han reste till USA flera gånger och föreläste mycket vid Princeton University i New Jersey, där han träffade Albert Einstein. Detta var början på en nära vänskap som skulle pågå fram till Einsteins död 1955.
Det var dock också under denna period som Gödels psykiska hälsa började försämras. Han led av depressioner, och efter mordet på Moritz Schlick, en av ledarna för Wiencirkeln, av en upprörd student, led Gödel en nervös nedbrytning. Under de kommande åren led han flera fler.
Efter att Nazi-Tyskland annekterade Österrike den 12 mars 1938 befann sig Gödel sig i en ganska obekväm situation, delvis på grund av att han hade en lång historia av nära föreningar med olika judiska medlemmar av Wiencirkeln (han hade faktiskt attackerats på Wiens gator av ungdomar som trodde att han var judisk) och delvis för att han plötsligt riskerade att bli inskrivna i den tyska armén. Den 20 september 1938 gifte Gödel sig med Adele Nimbursky (fd Porkert), och när andra världskriget bröt ut ett år senare flydde han Europa med sin fru och tog den transsibiriska järnvägen över Asien, seglade över Stilla havet, och tog sedan ett nytt tåg över USA till Princeton, NJ, där han med hjälp av Einstein tog tillträde vid det nybildade Institute for Advanced Studies (IAS). Han tillbringade resten av sitt liv på att arbeta och undervisa på IAS, från vilken han gick i pension 1976. Gödel blev amerikansk medborgare 1948. (Einstein deltog i hans utfrågning eftersom Gödels beteende var ganska oförutsägbart, och Einstein var rädd att Gödel kunde sabotera hans eget fall.)
1940, bara månader efter att han anlände till Princeton, publicerade Gödel en annan klassisk matematisk uppsats, ”Konsistens av valet Axiom och den generaliserade kontinuum-hypotesen med Axioms of Set Theory,” som bevisade att valet axiom och kontinuum hypotesen överensstämmer med standardaxiomer (såsom Zermelo-Fraenkel-axiomer) för uppsättningsteori. Detta etablerade hälften av en antagning av Gödels - nämligen att kontinuumhypotesen inte kunde bevisas sann eller falsk i standarduppsättningsteorier. Gödels bevis visade att det inte kunde bevisas falskt i dessa teorier. 1963 demonstrerade den amerikanska matematikern Paul Cohen att det inte heller kunde bevisas sant i dessa teorier, vilket bekräftar Gödels föreställning.
1949 gav Gödel också ett viktigt bidrag till fysiken, vilket visade att Einsteins teori om allmän relativitet ger möjlighet till tidsresor.
