Logaritm, exponenten eller kraften till vilken en bas måste höjas för att ge ett givet antal. Uttryckt matematiskt är x logaritmen för n till basen b om b x = n, i vilket fall skriver man x = log b n. Till exempel 2 3 = 8; därför är 3 logaritmen från 8 till bas 2, eller 3 = log 2 8. På samma sätt, eftersom 10 2 = 100, då 2 = log 10 100. Logaritmer av den senare sorten (det vill säga logaritmer med bas 10) kallas vanliga eller Briggsian logaritmer och skrivs helt enkelt log n.
Uppfunnet på 1600-talet för att påskynda beräkningarna minskade logaritmerna den tid som krävdes för att multiplicera siffror med många siffror. De var grundläggande i numeriskt arbete i mer än 300 år, tills perfektion av mekaniska beräkningsmaskiner i slutet av 1800-talet och datorer under 1900-talet gjorde dem föråldrade för storskaliga beräkningar. Den naturliga logaritmen (med bas e ≅ 2.71828 och skriven ln n) är dock fortfarande en av de mest användbara funktionerna i matematik, med tillämpningar på matematiska modeller i fysiska och biologiska vetenskaper.
Logaritmernas egenskaper
Logaritmer antogs snabbt av forskare på grund av olika användbara egenskaper som förenklade långa, tråkiga beräkningar. I synnerhet kunde forskare hitta produkten av två siffror m och n genom att leta upp varje nummers logaritm i en speciell tabell, lägga till logaritmerna tillsammans och sedan konsultera tabellen igen för att hitta antalet med den beräknade logaritmen (känd som dess antilogaritm). Uttryckt i termer av vanliga logaritmer, detta förhållande ges av log mn = log m + log n. Till exempel kan 100 × 1 000 beräknas genom att slå upp logaritmerna 100 (2) och 1 000 (3), lägga till logaritmerna tillsammans (5) och sedan hitta dess antilogaritm (100 000) i tabellen. På samma sätt konverteras delningsproblem till subtraktionsproblem med logaritmer: log m / n = log m - log n. Detta är inte allt; beräkningen av krafter och rötter kan förenklas med användning av logaritmer. Logaritmer kan också konverteras mellan alla positiva baser (förutom att 1 inte kan användas som bas eftersom alla dess krafter är lika med 1), som visas i
tabell över logaritmiska lagar.
Endast logaritmer för nummer mellan 0 och 10 inkluderades vanligtvis i logaritmtabeller. För att få logaritmen för ett antal utanför detta intervall, skrivdes antalet först i vetenskaplig notation eftersom produkten av dess betydande siffror och dess exponentiella kraft - till exempel skulle 358 skrivas som 3,58 × 10 2, och 0,0046 skulle skrivas som 4,6 × 10 −3. Då kan logaritmen för de betydande siffrorna - en decimalfraktion mellan 0 och 1, känd som mantisan - hittas i en tabell. Till exempel, för att hitta logaritmen 358, skulle man slå upp log 3.58 ≅ 0.55388. Därför logg 358 = log 3,58 + log 100 = 0,55388 + 2 = 2,55388. I exemplet med ett tal med en negativ exponent, såsom 0,0046, skulle man slå upp log 4.6 ≅ 0.66276. Därför loggar 0.0046 = log 4.6 + log 0.001 = 0.66276 - 3 = −2.33724.
