Kontinuumhypotesen matematik

Kontinuumhypotes, uttalande om uppsättningsteori att uppsättningen av verkliga siffror (kontinuummet) är i en mening så liten som den kan vara. År 1873 bevisade den tyska matematikern Georg Cantor att kontinuumet är otalbart - det vill säga att de verkliga siffrorna är en större oändlighet än räknatalen - ett viktigt resultat i att starta setteorin som ett matematiskt ämne. Dessutom utvecklade Cantor ett sätt att klassificera storleken på oändliga uppsättningar beroende på antalet element, eller dess kardinalitet. (Se uppsättningsteori: Kardinalitet och transfinite-tal.) I dessa termer kan kontinuumhypotesen anges på följande sätt: Kardinaliteten i kontinuumet är det minsta uttalbara kardinalnumret.

uppsättningsteori: kardinalitet och transfinite-tal

en antagning som kallas kontinuumhypotesen.

I Cantors notation kan kontinuumhypotesen anges med den enkla ekvationen 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₁, där ℵ ₀ är kardinalnumret för en oändlig räknbar uppsättning (som uppsättningen av naturliga siffror), och kardinalnumren med större " välordnade uppsättningar ”är ℵ ₁, ℵ ₂,

, _Α,

, indexerad med ordinära nummer. Kan visas kardinaliteten av kontinuum till lika 2 ^{ℵ ₀}; sålunda utesluter kontinuumhypotesen förekomsten av en uppsättning storlek mellan mellan de naturliga siffrorna och kontinuummet.

Ett starkare uttalande är den generaliserade kontinuumhypotesen (GCH): 2 ^{ℵ _α} = ℵ _{α + 1} för varje ordinärt antal α. Den polska matematikern Wacław Sierpiński bevisade att man med GCH kan härleda valets axiom.

Som med valet axiom bevisade den österrikiska födda amerikanska matematikern Kurt Gödel 1939 att om de andra standard Zermelo-Fraenkel axioms (ZF; se

tabell) är konsistenta, då motbeviser de inte kontinuumhypotesen eller ens GCH. Det vill säga att resultatet av att lägga till GCH till de andra axiomerna förblir konsekvent. Sedan slutförde den amerikanska matematikern Paul Cohen 1963 bilden genom att återigen visa att ZF är konsekvent att ZF inte ger ett bevis på kontinuumhypotesen.

Eftersom ZF varken bevisar eller motbeviser kontinuumhypotesen kvarstår frågan om man ska acceptera kontinuumhypotesen baserad på ett informellt begrepp om vilka uppsättningar är. Det allmänna svaret i det matematiska samhället har varit negativt: kontinuumhypotesen är ett begränsande uttalande i ett sammanhang där det inte finns någon känd anledning att införa en gräns. I uppsättningsteorin tilldelar effektuppsättningsoperationen till varje uppsättning av kardinalitet ℵ _α sin uppsättning av alla underuppsättningar, som har kardinalitet 2 ^{ℵ _α}. Det verkar inte finnas någon anledning att införa en gräns för de olika delmängderna som en oändlig uppsättning kan ha.