Kategoriteori
Abstraktion i matematik
En nyare tendens i matematikutvecklingen har varit den gradvisa abstraktionsprocessen. Den norska matematikern Niels Henrik Abel (1802–29) bevisade att ekvationer i femte grad generellt sett inte kan lösas av radikaler. Den franska matematikern Évariste Galois (1811–32), delvis motiverad av Abels arbete, introducerade vissa grupper av permutationer för att bestämma de nödvändiga förutsättningarna för att en polynomekvation skulle kunna lösas. Dessa konkreta grupper gav snart upphov till abstrakta grupper, som beskrivs axiomatiskt. Då insåg man att för att studera grupper var det nödvändigt att titta på förhållandet mellan olika grupper - i synnerhet på homomorfismerna som kartlägger en grupp till en annan samtidigt som gruppoperationerna bevarades. Således började människor studera det som nu kallas den konkreta kategorin av grupper, vars objekt är grupper och vars pilar är homomorfismer. Det tog inte lång tid för konkreta kategorier att ersättas med abstrakta kategorier, återigen beskrivna axiomatiskt.
Den viktiga uppfattningen om en kategori introducerades av Samuel Eilenberg och Saunders Mac Lane i slutet av andra världskriget. Dessa moderna kategorier måste skiljas från Aristoteles kategorier, som är bättre kallade typer i nuvarande sammanhang. En kategori har inte bara objekt utan också pilar (kallas också morfismer, transformationer eller kartläggningar) mellan dem.
Många kategorier har som objektsatser utrustade med viss struktur och pilar, som bevarar denna struktur. Således finns det kategorierna av uppsättningar (med tom struktur) och kartläggningar, av grupper och grupp-homomorfismer, av ringar och ring-homomorfismer, av vektorutrymmen och linjära transformationer, av topologiska utrymmen och kontinuerliga kartläggningar, och så vidare. Det finns till och med, på en ännu mer abstrakt nivå, kategorin av (små) kategorier och funktorer, som morfismerna mellan kategorierna kallas, som bevarar förhållanden mellan objekt och pilar.
Inte alla kategorier kan ses på detta konkreta sätt. Till exempel kan formlerna för ett deduktivt system ses som objekt i en kategori vars pilar f: A → B är avdrag från B från A. I själva verket är denna synvinkel viktig i teoretisk datavetenskap, där formler är tänkta som typer och avdrag som operationer.
Mer formellt består en kategori av (1) en samling av objekt A, B, C,…, (2) för varje beställt par av objekt i samlingen en tillhörande samling transformationer inklusive identiteten I A → A → A, och (3) en tillhörande kompositionlag för varje beställd trippel av objekt i kategorin så att för f ∶ A → B och g ∶ B → C är sammansättningen gf (eller g ○ f) en omvandling från A till C — dvs gf ∶ A → C. Dessutom krävs associeringsrätten och identiteterna att hålla (där kompositionerna är definierade)-ie, h (gf) = (hg) f och en B f = f = f1 A.
På ett sätt har objekten i en abstrakt kategori inga fönster, som Leibniz monader. För att dra slutsatsen av det inre av ett objekt A behöver man bara titta på alla pilar från andra objekt till A. Till exempel i kategorin uppsättningar kan element i en uppsättning A representeras av pilar från en typisk enelementuppsättning till A. på liknande sätt, i kategorin av små kategorier, om en är den kategori med ett objekt och inga nonidentity pilar, föremål för en kategori A kan identifieras med funktorer 1 → A. Dessutom, om två är den kategori med två objekt och en nonidentity pil, pilarna av A kan identifieras med funktorer 2 → A.
Isomorfa strukturer
En pil f: A → B kallas en isomorfism om det finns en pil g: B → En invers till f, det vill säga så att g ○ f = 1 A och f ○ g = 1 B. Detta är skrivet A ≅ B, och A och B kallas isomorf, vilket innebär att de väsentligen har samma struktur och att det inte finns något behov av att skilja mellan dem. I den mån matematiska enheter är föremål för kategorier, ges de endast upp till isomorfism. Deras traditionella setteoretiska konstruktioner, bortsett från att tjäna ett användbart syfte för att visa konsistens, är verkligen irrelevanta.
Till exempel, i den vanliga konstruktionen av heltalets ring definieras ett heltal som en ekvivalensklass av par (m, n) med naturliga tal, där (m, n) är ekvivalent med (m ′, n ′) om och endast om m + n ′ = m ′ + n. Tanken är att ekvivalensklassen för (m, n) ska ses som m - n. Vad som är viktigt för en kategorist är emellertid att ringen ℤ för heltal är ett initialt objekt i kategorin av ringar och homomorfismer - det vill säga att för varje ring ℝ finns en unik homomorfism ℤ → ℝ. Sett på detta sätt, ℤ ges endast upp till isomorfism. I samma anda bör det inte sägas att ℤ finns i fältet ℚ för rationella nummer utan bara att homomorfismen ℤ → ℚ är en-till-en. På samma sätt är det inte meningsfullt att tala om den setteoretiska skärningspunkten mellan π och kvadratroten av √-1, om båda uttrycks som uppsättningar setuppsättningar (ad infinitum).
Av speciellt intresse för stiftelser och på andra håll är angränsande funktorer (F, G). Det här är par funktorer mellan två kategorier ? och ℬ, som går i motsatta riktningar så att det finns en en-till-en-korrespondens mellan pilaruppsättningen F (A) → B i ℬ och pilsuppsättningen A → G (B) i ? - det vill säga så att uppsättningarna är isomorfa.
