Logik och metalogik
I en mening måste logik identifieras med predikatberäkningen för den första ordningen, den kalkyl som variablerna är begränsade till individer med en fast domän - även om den kan inkludera identitetens logik, symboliserad "=," som tar de vanliga egenskaperna hos identitet som en del av logiken. I detta avseende uppnådde Gottlob Frege en formell beräkning av logik redan 1879. Ibland tolkas logiken, men inkluderar också högre ordningens predikatberäkningar, som medger variabler av högre typer, såsom de som sträcker sig över predikat (eller klasser och relationer) och så vidare. Men då är det ett litet steg till införlivandet av uppsättningsteori, och i själva verket betraktas ofta axiomatisk uppsättningsteori som en del av logiken. För denna artikel är det emellertid lämpligare att begränsa diskussionen till logik i första meningen.
Det är svårt att skilja ut betydande fynd i logiken från de i metalogiska, eftersom alla teorem av intresse för logiker handlar om logik och därför tillhör metalogic. Om p är en matematisk teorem - i synnerhet en om logik - och P är kopplingen av de matematiska axiomerna som används för att bevisa p, kan varje p förvandlas till ett ställe, "antingen inte-P eller p", i logik. Matematik görs dock inte genom att uttryckligen utföra alla steg som formaliserats i logiken; valet och intuitivt grepp om axiomerna är viktigt både för matematik och för metamatematik. Faktiska härledningar i logik, såsom de som genomfördes strax före första världskriget av Alfred North Whitehead och Bertrand Russell, är av liten intresse för logiker. Det kan därför verka överflödigt att införa termen metalogic. I den nuvarande klassificeringen är dock metalogic tänkt som inte bara handlar om fynd om logiska beräkningar utan också med studier av formella system och formella språk i allmänhet.
Ett vanligt formellt system skiljer sig från en logisk kalkyl genom att systemet vanligtvis har en avsedd tolkning, medan den logiska kalkylen medvetet lämnar de möjliga tolkningarna öppna. Således talar man till exempel om sanningar eller förfalskningar av meningar i ett formellt system, men med avseende på en logisk kalkyl talar man om giltighet (dvs. att det är sant i alla tolkningar eller i alla möjliga världar) och om tillfredsställelse (eller att ha en modell - dvs att vara sant i en viss tolkning). Följaktligen har fullständigheten av en logisk kalkyl en helt annan betydelse än den för ett formellt system: en logisk kalkyl tillåter många meningar så att varken meningen eller dess negation är ett ställe eftersom det är sant i vissa tolkningar och falskt i andra, och det kräver bara att varje giltig mening är ett ställe.
