Hippokrates of Chios (fl. Ca 460 f.Kr.) visade att de månformade områdena mellan cirkulära bågar, kända som lunes, kunde uttryckas exakt som ett rätlinjigt område eller kvadratur. I följande enkla fall har två lunes utvecklade runt sidorna av en högra triangel ett kombinerat område lika med triangelns.
-
Börja med höger ΔABC, rita en cirkel vars diameter sammanfaller med AB (sida c), hypotenusen. Eftersom alla högra triangeln ritade med en cirkelns diameter för dess hypotenuse måste vara inskrivna i cirkeln måste C vara på cirkeln.
-
Rita halvcirklar med diametrarna AC (sida b) och BC (sida a) som i figuren.
-
Märka den erhållna lunes L 1 och L 2 och de resulterande segmenten S 1 och S 2, såsom anges i figuren.
-
Nu måste summan av banorna (L 1 och L 2) vara lika med summan av halvcirklar (L 1 + S 1 och L 2 + S 2) som innehåller dem minus de två segmenten (S 1 och S 2). Sålunda, L 1 + L 2 = π / 2 (b / 2) 2 - S 1 + π / 2 (a / 2) 2 - S 2 (eftersom området av en cirkel är Tt gånger kvadraten på radien).
-
Summan av segmenten (S 1 och S 2) är lika med halvcirkelns area baserat på AB minus triangelns area. Sålunda, S 1 + S 2 = π / 2 (c / 2) 2 - ΔABC.
-
Substituera uttrycket i steg 5 till steg 4 och facto ut vanliga termer, L 1 + L 2 = π / 8 (a 2 + b 2 - c 2) + ΔABC.
-
Sedan ∠ACB = 90 °, en 2 + b 2 - c 2 = 0, genom Pythagoras sats. Sålunda, L 1 + L 2 = ΔABC.
Hippokrates lyckades kvadratera flera slags meloner, vissa på bågar större och mindre än halvcirklar, och han skrämde, även om han kanske inte trodde, att hans metod kunde kvadratera en hel cirkel. I slutet av den klassiska tidsåldern nämnde Boethius (ca ad 470–524), vars latinska översättningar av utdrag av Euclid skulle hålla ljuset från geometri som flimrade i ett halvt millennium, att någon hade uppnått cirkelns kvadrat. Huruvida det okända geniet använde lunes eller någon annan metod är inte känt, eftersom Boethius på grund av utrymme inte gav demonstrationen. Han överförde alltså utmaningen med cirkelns kvadratur tillsammans med fragment av geometri som tydligen var användbara för att utföra den. Européerna höll på den olyckliga uppgiften långt in i upplysningen. Slutligen, 1775, vägrade Paris Academy of Sciences, trött på uppgiften att upptäcka förfalskningarna i de många lösningar som lämnades till det, att ha något ytterligare att göra med cirkelkvadrer.
![12 Angry Men-film av Lumet [1957]](https://images.thetopknowledge.com/img/entertainment-pop-culture/1/12-angry-men-film-lumet-1957.jpg "12 Angry Men-film av Lumet [1957]")
