Sturm-Liouville-problem, eller egenvärdesproblem, i matematik, en viss klass av partiella differentiella ekvationer (PDE) med förbehåll för extra begränsningar, kända som gränsvärden, på lösningarna. Sådana ekvationer är vanliga i både klassisk fysik (t.ex. termisk ledning) och kvantmekanik (t.ex. Schrödinger-ekvation) för att beskriva processer där ett visst externt värde (gränsvärde) hålls konstant medan systemet med intresse överför någon form av energi.
I mitten av 1830-talet arbetade de franska matematikerna Charles-François Sturm och Joseph Liouville oberoende av problemet med värmeledning genom en metallstång, i processen att utveckla tekniker för att lösa en stor klass av PDE: er, den enklaste som har formen [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0 där y är någon fysisk kvantitet (eller den kvantmekaniska vågfunktionen) och λ är en parameter eller egenvärde som begränsar ekvationen så att y uppfyller gränsvärdena vid ändpunkterna för intervallet över vilket variabeln x sträcker sig. Om funktionerna p, q och r uppfyller lämpliga förhållanden kommer ekvationen att ha en familj av lösningar, kallad egenfunktioner, motsvarande egenvärdeslösningarna.
För det mer komplicerade icke-homogena fallet där höger sida av ovanstående ekvation är en funktion, f (x), snarare än noll, kan egenvärdena för motsvarande homogena ekvation jämföras med egenvärdena för den ursprungliga ekvationen. Om dessa värden är olika kommer problemet att ha en unik lösning. Å andra sidan, om någon av dessa egenvärden matchar, kommer problemet att ha antingen ingen lösning eller en hel familj av lösningar, beroende på egenskaperna för funktionen f (x).
