Aritmetisk

Aritmetik, matematikgren där siffror, förhållanden mellan siffror och observationer av siffror studeras och används för att lösa problem.

Aritmetik (en term härrörande från det grekiska ordet aritmos, ”antal”) hänvisar generellt till de elementära aspekterna av teorin om siffror, konst för menstruation (mätning) och numerisk beräkning (det vill säga processerna för tillägg, subtraktion, multiplikation, uppdelning, höjning till makter och utvinning av rötter). Dess betydelse har emellertid inte varit enhetlig i matematisk användning. En framstående tysk matematiker, Carl Friedrich Gauss, i Disquisitiones Arithmeticae (1801) och vissa moderna matematiker har använt termen för att inkludera mer avancerade ämnen. Läsaren som är intresserad av det senare hänvisas till artikelnummerteorin.

Grundläggande definitioner och lagar

Naturliga siffror

I en samling (eller uppsättning) av objekt (eller element) kallas handlingen för att bestämma antalet närvarande objekt räkning. De sålunda erhållna siffrorna kallas räkningsnummer eller naturliga nummer (1, 2, 3,

). För en tom uppsättning finns inget objekt närvarande, och räknet ger numret 0, som, bifogat de naturliga siffrorna, ger det som kallas hela siffrorna.

Om objekt från två uppsättningar kan matchas på ett sådant sätt att varje element från varje uppsättning är unikt parat med ett element från den andra uppsättningen, sägs uppsättningarna vara lika eller likvärdiga. Konceptet med likvärdiga uppsättningar är grundläggande för grunden för modern matematik och har införts i grundutbildningen, särskilt som en del av den ”nya matematiken” (se figuren) som omväxlande har hylts och dekoderat sedan det dök upp på 1960-talet. Se uppsättningsteori.

Tillsats och multiplikation

Genom att kombinera två uppsättningar objekt som innehåller a- och b-element bildas en ny uppsättning som innehåller a + b = c-objekt. Siffran c kallas summan av a och b; och var och en av de senare kallas en summand. Funktionen för att bilda summan kallas tillägg, symbolen + läses som "plus". Detta är den enklaste binära operationen, där binär refererar till processen att kombinera två objekt.

Från definitionen av räkning är det uppenbart att ordningen på summandarna kan ändras och ordningen för operationen av tillägg kan ändras, när den tillämpas på tre summands, utan att påverka summan. Dessa kallas respektive tilläggslag och respektive tilläggslag.

Om det finns ett naturligt tal k så att a = b + k sägs det att a är större än b (skriven a> b) och att b är mindre än a (skriven b <a). Om a och b är två naturliga nummer är det så att antingen a = b eller a> b eller a <b (trikotomilagen).

Av ovanstående lagar är det uppenbart att en upprepad summa såsom 5 + 5 + 5 är oberoende av sättet på vilket summandarna grupperas; det kan skrivas 3 × 5. Således definieras en andra binär operation som kallas multiplikation. Talet 5 kallas multiplicand; siffran 3, som anger antalet summander, kallas multiplikatorn; och resultatet 3 × 5 kallas produkten. Symbolen × för denna operation läses "gånger." Om sådana bokstäver som a och b används för att beteckna siffrorna, skrivs produkten a × b ofta a ∙ b eller helt enkelt ab.

Om tre rader om fem punkter vardera skrivs, som illustreras nedan, det är tydligt att det totala antalet prickar i matrisen är 3 × 5, eller 15. Samma antal prickar kan uppenbarligen skrivas i fem rader med tre prickar vardera, varifrån 5 × 3 = 15. Argumentet är allmänt, vilket leder till till lagen om att multiplikandernas ordning inte påverkar produkten, kallad multiplikationens kommutativa lag. Men det är anmärkningsvärt att denna lag inte gäller alla matematiska enheter. Mycket av den matematiska formuleringen av modern fysik, till exempel, beror avgörande på att vissa enheter inte pendlar.

Genom att använda en tredimensionell matris med prickar blir det uppenbart att ordningen med multiplikation när den tillämpas på tre siffror inte påverkar produkten. En sådan lag kallas multiplikationens associativa lag. Om de 15 punkterna skrivna ovan är separerade i två uppsättningar, som visas, då består den första uppsättningen av tre kolumner med tre prickar vardera, eller 3 × 3 prickar; den andra uppsättningen består av två kolumner med tre prickar vardera, eller 2 × 3 prickar; summan (3 × 3) + (2 × 3) består av 3 + 2 = 5 kolumner med tre prickar vardera, eller (3 + 2) × 3 punkter. I allmänhet kan man bevisa att multiplikationen av en summa med ett tal är densamma som summan av två lämpliga produkter. En sådan lag kallas distribueringslagen.

heltal

Subtraktion har inte införts av det enkla skälet att det kan definieras som invers av tillsats. Således definieras skillnaden a - b av två siffror a och b som en lösning x i ekvationen b + x = a. Om ett talsystem är begränsat till de naturliga siffrorna behöver skillnader inte alltid existera, men om de gör det kan de fem grundläggande aritmetiska lagarna, som redan diskuterats, användas för att bevisa att de är unika. Dessutom kan lagarna för operationer för tillägg och multiplikation utvidgas till att gälla skillnader. Hela siffrorna (inklusive noll) kan utökas till att inkludera lösningen 1 + x = 0, det vill säga antalet −1, liksom alla produkter med formen −1 × n, där n är ett heltal. Den utökade samlingen av nummer kallas heltal, varav de positiva heltalen är desamma som de naturliga siffrorna. De siffror som nyligen införts på detta sätt kallas negativa heltal.