Konisk sektion, även kallad kon, i geometri, vilken kurva som alstras genom skärningspunkten mellan ett plan och en höger cirkulär kon. Beroende på planets vinkel relativt konen är korsningen en cirkel, en ellips, en hyperbola eller en parabola. Särskilda (degenererade) fall av skärning sker när planet passerar endast spetsen (producerar en enda punkt) eller genom spetsen och en annan punkt på konen (producerar en rak linje eller två korsande raka linjer). Se figuren.
projektiv geometri: Projektiv koniska sektioner
Koniska sektioner kan betraktas som plana sektioner för en högra cirkulär kon (se figuren). Genom att betrakta
De grundläggande beskrivningarna, men inte namnen, på de koniska delarna kan spåras till Menaechmus (blomstrade ca 350 f.Kr.), en elev till både Platon och Eudoxus från Cnidus. Apollonius av Perga (c. 262–190 f.Kr.), känd som ”den stora geometern”, gav de koniska sektionerna sina namn och var den första som definierade de två grenarna i hyperbolen (som förutsätter den dubbla konen). Apollonius avhandling om åtta volymer om koniska sektioner, Conics, är ett av de största vetenskapliga verken från antiken.
Analytisk definition
Keglar kan också beskrivas som plana kurvor som är banorna (loci) för en punkt som rör sig så att förhållandet mellan dess avstånd från en fast punkt (fokus) till avståndet från en fast linje (riktningen) är en konstant, kallad kurvens excentricitet. Om excentriciteten är noll är kurvan en cirkel; om lika med en, en parabola; om mindre än en, en ellips; och om större än en, en hyperbola. Se figuren.
Varje konisk sektion motsvarar diagrammet för en andra grads polynomekvation av formen Ax 2 + Med 2 + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + F = 0, där x och y är variabler och A, B, C, D, E och F är koefficienter som beror på den specifika koniska. Genom ett lämpligt val av koordinataxlarna, kan ekvationen för någon conic reduceras till en av tre enkla r former: x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1, x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1, eller y 2 = 2px, vilket motsvarar en ellips, en hyperbel, och en parabel, respektive. (En ellips där a = b i själva verket är en cirkel.) Den omfattande användningen av koordinatsystem för den algebraiska analysen av geometriska kurvor har sitt ursprung i René Descartes (1596–1650). Se historia om geometri: kartesisk geometri.
Grekiskt ursprung
Den tidiga historien med koniska sektioner förenas med problemet med att "fördubbla kuben." Enligt Eratosthenes of Cyrene (ca 276–190 f.Kr.) konsulterade folket i Delos Apollos orakel för att få en pest (ca 430 f.Kr.) och fick instruktion att bygga Apollo ett nytt altare av dubbelt så mycket som det gamla altaret och med samma kubikform. Förvirrad konsulterade Delianerna Platon, som uttalade att ”orakelet menade inte att gud ville ha ett altare av dubbelt så stort, utan att han ville, genom att sätta dem uppgiften, att skämma grekerna för deras försummelse av matematik och deras förakt för geometri. ” Hippokrates of Chios (c. 470–410 f.Kr.) upptäckte först att "Delian-problemet" kan reduceras till att hitta två genomsnittliga proportioner mellan a och 2a (volymerna för respektive altare) - det vill säga att bestämma x och y så att en: x = x: y = y: 2a. Detta motsvarar att samtidigt lösa två av ekvationerna x 2 = ay, y 2 = 2ax och xy = 2a 2, vilket motsvarar två parabolas respektive en hyperbola. Senare visade Archimedes (c. 290–211 f.Kr.) hur man använder koniska sektioner för att dela upp en sfär i två segment med ett visst förhållande.
Diokler (ca 200 f.Kr.) visade geometriskt att strålar - till exempel från solen - som är parallella med axeln för en paraboloid av revolution (producerad genom att rotera en parabola om sin symmetriaxel) möts i fokus. Archimedes sägs ha använt den här egenskapen för att sätta fiendens fartyg i brand. Ellipsens fokusegenskaper citerades av Anthemius från Tralles, en av arkitekterna för Hagia Sophia-katedralen i Konstantinopel (färdigställd i annon 537), som ett sätt att säkerställa att ett altare kunde lysas upp med solljus hela dagen.
