Diophantus grekisk matematiker

Diophantus, förnamn Diophantus av Alexandria, (blomstrade ca 250), grekisk matematiker, känd för sitt arbete i algebra.

sifferteori: Diophantus

Av senare grekiska matematiker, särskilt anmärkningsvärt, är Diophantus av Alexandria (blomstrade ca. 250), författare

Det lilla som är känt för Diophantus liv är omständigt. Från appellationen ”Alexandria” verkar det som om han arbetade i det vetenskapliga centrumet i den antika grekiska världen; och eftersom han inte nämnts före 400-talet verkar det troligt att han blomstrade under 300-talet. Ett aritmetiskt epigram från Anthologia Graeca i den sena antiken, som påstods att återföra några landmärken i hans liv (äktenskap vid 33 år, hans son föddes vid 38 år, hans son död fyra år före sin egen 84), kan mycket väl förtalas. Två verk har kommit till oss under hans namn, båda ofullständiga. Den första är ett litet fragment på polygonala tal (ett tal är polygonalt om samma antal prickar kan ordnas i form av en vanlig polygon). Den andra, en stor och extremt inflytelserik avhandling som alla antika och moderna berömmelser av Diophantus återvänder, är hans Arithmetica. Dess historiska betydelse är tvåfaldig: det är det första kända verket som använder algebra i modern stil, och det inspirerade återfödelsen av sifferteorin.

Arithmetica börjar med en introduktion riktad till Dionysius - utan tvekan St. Dionysius i Alexandria. Efter några generaliteter om siffror förklarar Diophantus sin symbolik - han använder symboler för det okända (motsvarande vår x) och dess krafter, positiva eller negativa, såväl som för vissa aritmetiska operationer - de flesta av dessa symboler är tydligt skriftliga förkortningar. Detta är den första och enda förekomsten av algebraisk symbolik före 1500-talet. Efter att ha undervisat multiplikation av krafterna hos det okända förklarar Diophantus multiplikationen av positiva och negativa termer och sedan hur man reducerar en ekvation till en med endast positiva termer (standardformen föredras i antiken). Med dessa förberedelser ur vägen fortsätter Diophantus till problemen. I själva verket är Arithmetica i huvudsak en samling av problem med lösningar, ungefär 260 i den del som fortfarande finns.

Inledningen anger också att verket är uppdelat i 13 böcker. Sex av dessa böcker var kända i Europa i slutet av 15-talet, överförda på grekiska av byzantinska forskare och numrerade från I till VI; fyra andra böcker upptäcktes 1968 i en arabisk översättning från 900-talet av Qusṭā ibn Lūqā. Men den arabiska texten saknar matematisk symbolik, och den verkar vara baserad på en senare grekisk kommentar - kanske den från Hypatia (c. 370–415) - som utspädde Diophantus utlägg. Vi vet nu att numreringen av de grekiska böckerna måste ändras: Arithmetica består således av böcker I till III på grekiska, böcker IV till VII på arabiska, och förmodligen böcker VIII till X på grekiska (de tidigare grekiska böckerna IV till VI). Ytterligare omnummerering är osannolikt; det är ganska säkert att byzantinerna bara kände till de sex böckerna som de överförde och araberna inte mer än böcker I till VII i den kommenterade versionen.

Problemen i bok I är inte karakteristiska, eftersom de mestadels är enkla problem som används för att illustrera algebraisk beräkning. De särdragen i Diophantus problem visas i de senare böckerna: de är obestämda (har mer än en lösning), är av den andra graden eller kan reduceras till den andra graden (den högsta kraften på variabla termer är 2, dvs x ²) och slutar med bestämningen av ett positivt rationellt värde för det okända som kommer att göra ett givet algebraiskt uttryck till ett numeriskt kvadrat eller ibland en kub. (I hela sin bok använder Diophantus ”nummer” för att hänvisa till vad som nu kallas positiva, rationella siffror; ett kvadratiskt antal är således kvadratet för ett positivt, rationellt antal.) Böcker II och III lär också allmänna metoder. I tre problem i bok II förklaras hur man representerar: (1) varje givet kvadratnummer som en summa av kvadraten med två rationella nummer; (2) varje givet icke-kvadratiskt antal, som är summan av två kända rutor, som en summa av två andra rutor; och (3) varje givet rationellt antal som skillnaden mellan två kvadrater. Medan de första och tredje problemen anges generellt, antyder den antagna kunskapen om en lösning i det andra problemet att inte alla rationella siffror är summan av två kvadrater. Diophantus ger senare villkoret för ett heltal: det givna antalet får inte innehålla någon primfaktor av formen 4n + 3 höjt till en udda effekt, där n är ett icke-negativt heltal. Sådana exempel motiverade återfödelsen av nummerteorin. Även om Diophantus vanligtvis är nöjd med att få en lösning på ett problem, nämner han ibland i problem att det finns ett oändligt antal lösningar.

I böcker IV till VII utvidgar Diophantus grundläggande metoder såsom de som beskrivs ovan till problem med högre grader som kan reduceras till en binomisk ekvation för första eller andra graden. Förorden till dessa böcker säger att deras syfte är att ge läsaren "erfarenhet och färdighet." Medan denna senaste upptäckt inte ökar kunskapen om Diophantus matematik, ändrar den bedömningen av hans pedagogiska förmåga. Böcker VIII och IX (förmodligen grekiska böcker IV och V) löser svårare problem, även om de grundläggande metoderna förblir desamma. Exempelvis innebär ett problem att sönderdela ett givet heltal i summan av två rutor som är godtyckligt nära varandra. Ett liknande problem innefattar att sönderdela ett givet heltal i summan av tre kvadrater; i det utesluter Diophantus det omöjliga fallet med heltal i formen 8n + 7 (återigen, n är ett icke-negativt heltal). Bok X (förmodligen grekisk bok VI) behandlar rätvinklade trianglar med rationella sidor och med förbehåll för olika ytterligare villkor.

Innehållet i de tre saknade böckerna i Arithmetica kan antas från inledningen, där, efter att ha sagt att minskningen av ett problem borde "om möjligt" avslutas med en binomisk ekvation, lägger Diophantus till att han "senare" ska behandla ärendet av en trinomekvation - ett löfte som inte uppfylls i den befintliga delen.

Trots att han hade begränsade algebraiska verktyg till sitt förfogande lyckades Diophantus lösa en mängd olika problem, och Arithmetica inspirerade arabiska matematiker som al-Karajī (c. 980–1030) att tillämpa sina metoder. Den mest berömda förlängningen av Diophantus verk var av Pierre de Fermat (1601–65), grundaren av modern sifferteori. I marginalerna av hans kopia av Arithmetica skrev Fermat olika kommentarer och föreslog nya lösningar, korrigeringar och generaliseringar av Diophantus metoder såväl som några antaganden som Fermats sista sats, som ockuperade matematiker under kommande generationer. Obestämda ekvationer begränsade till integrerade lösningar har blivit kända, men inte på lämpligt sätt, som diofantiska ekvationer.