Riemann zeta fungerar matematik

Riemann zeta-funktion, funktion användbar i talteori för att undersöka egenskaperna hos primtal. Skrivet som ζ (x) definierades det ursprungligen som den oändliga serienζ (x) = 1 + 2 ^−x + 3 ^−x + 4 ^−x + ⋯. När x = 1 kallas denna serie för den harmoniska serien, som ökar utan gräns - dvs. summan är oändlig. För värden på x större än 1, konvergerar serien till ett ändligt antal när successiva termer läggs till. Om x är mindre än 1 är summan åter oändlig. Zeta-funktionen var känd av den schweiziska matematikern Leonhard Euler 1737, men den studerades först omfattande av den tyska matematikern Bernhard Riemann.

1859 publicerade Riemann ett papper som gav en uttrycklig formel för antalet primer upp till någon förutbestämd gräns - en beslutad förbättring jämfört med det ungefärliga värdet som ges av primtalssatsen. Riemanns formel var dock beroende av att känna till värdena vid vilka en generaliserad version av zeta-funktionen är lika med noll. (Riemann zeta-funktionen definieras för alla komplexa siffror - siffror i formen x + iy, där i = kvadratrot av √ − 1 - förutom raden x = 1.) Riemann visste att funktionen är lika med noll för alla negativa heltal −2, −4, −6,

(så kallade triviala nollor), och att det har ett oändligt antal nollor i den kritiska remsan med komplexa siffror mellan linjerna x = 0 och x = 1, och han visste också att alla icke-nollrivna nollor är symmetriska med avseende på de kritiska linjen x = ^en / _två. Riemann antog att alla nontriviala nollor är på den kritiska linjen, en antagning som senare blev känd som Riemann-hypotesen.

År 1900 kallade den tyska matematikern David Hilbert Riemann-hypotesen en av de viktigaste frågorna i all matematik, vilket indikerades av dess införlivande i hans inflytelserika lista med 23 olösta problem som han utmanade 1900-talets matematiker. År 1915 bevisade den engelska matematikern Godfrey Hardy att ett oändligt antal nollor förekommer på den kritiska linjen, och 1986 visade sig de första 1 500 000 001 nontriviala nollorna vara på den kritiska linjen. Även om hypotesen ännu kan visa sig vara falsk, har undersökningar av detta svåra problem berikat förståelsen för komplexa antal.