Euklidisk geometri
Om vi tar hänsyn till euklidisk geometri upptäcker vi tydligt att det hänvisar till lagarna som reglerar de stela kropparnas positioner. Det vänder sig till den geniala tanken att spåra alla relationer som rör kroppar och deras relativa positioner till det mycket enkla begreppet ”distans” (Strecke). Distans anger en styv kropp på vilken två materialpunkter (märken) har specificerats. Begreppet jämlikhet mellan avstånd (och vinklar) avser experiment som involverar sammanfall; samma anmärkningar gäller för teorem om kongruens. Nu använder Euklidisk geometri, i den form den har överlämnats till oss från Euclid, de grundläggande begreppen "rak linje" och "plan" som inte verkar motsvara eller i alla fall, inte så direkt, med upplevelser beträffande de stela kropparnas position. På detta måste det påpekas att begreppet rak linje kan reduceras till avståndet.1 Dessutom var geometriker mindre upptagna med att få fram förhållandet mellan sina grundläggande begrepp till erfarenhet än att logiskt dra av de geometriska förslagen från några få axiomer som uttalats i början.
Låt oss kort beskriva hur kanske grunden för euklidisk geometri kan erhållas från begreppet avstånd.
Vi börjar från jämställdhet mellan avstånd (axiom av jämställdhet mellan avstånd). Anta att det med två ojämna avstånd alltid är större än det andra. Samma axiom är att hålla för ojämlikheten i avstånd som för ojämlikheten i siffror.
Tre avstånd AB 1, BC 1, CA 1 kan, om CA 1 på lämpligt sätt väljas, ha sina märken BB 1, CC 1, AA 1 överlagrade på varandra på ett sådant sätt att en triangel ABC resulterar. Avståndet CA 1 har en övre gräns för vilken denna konstruktion fortfarande bara är möjlig. Punkterna A, (BB ') och C ligger sedan i en "rak linje" (definition). Detta leder till begreppen: att producera ett avstånd med ett belopp som är lika med sig själv; dela ett avstånd i lika delar; uttrycka ett avstånd i form av ett tal med hjälp av en mätstång (definition av rymdintervallet mellan två punkter).
När begreppet intervall mellan två punkter eller längden på ett avstånd har uppnåtts på detta sätt kräver vi endast följande axiom (Pythagoras 'teorem) för att komma fram till den euklidiska geometrien analytiskt.
Till varje rymdpunkt (referensgrupp) kan tre siffror (koordinater) x, y, z tilldelas - och omvänt - på ett sådant sätt att för varje par av punkterna A (x 1, y 1, z 1) och B (x 2, y 2, z 2) satsen innehåller:
mätnummer AB = kvadrat {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }.
Alla ytterligare begrepp och förslag om euklidisk geometri kan sedan byggas upp rent logiskt på denna basis, särskilt även förslagen om den raka linjen och planet.
Dessa anmärkningar är naturligtvis inte avsedda att ersätta den strikt axiomatiska konstruktionen av den euklidiska geometrien. Vi vill bara ange troligt hur alla geometriuppfattningar kan spåras tillbaka till avståndet. Vi kan lika gärna ha upptäckt hela grunden för euklidisk geometri i den sista satsen ovan. Förhållandet till erfarenhetsgrunden skulle sedan tillhandahållas med hjälp av en kompletterande sats.
Koordinaten kan och måste väljas så att två par punkter separerade med lika stora intervaller, beräknat med hjälp av Pythagoras 'teorem, får få sammanfalla med ett och samma lämpligt valda avstånd (på ett fast ämne).
Begreppen och förslagen om euklidisk geometri kan härledas från Pythagoras förslag utan införande av styva kroppar; men dessa begrepp och förslag skulle då inte ha innehåll som kan testas. Det är inte ”sanna” förslag utan bara logiskt korrekta förslag av rent formellt innehåll.
