Analysmatematik

Analyshistoria

Grekarna möter kontinuerliga magneter

Analysen består av de delar av matematiken där kontinuerlig förändring är viktig. Dessa inkluderar studier av rörelse och geometri för släta kurvor och ytor - i synnerhet beräkningen av tangenter, områden och volymer. Forntida grekiska matematiker gjorde stora framsteg både i teorin och praktiken i analysen. Teorin tvingades på dem omkring 500 f.Kr. av den Pythagoreaska upptäckten av irrationella storleksförhållanden och ungefär 450 f.Kr. av Zenos rörelsens paradoxer.

Pytagoreerna och irrationella siffror

Ursprungligen trodde Pythagoreerna att alla saker kunde mätas med de diskreta naturliga siffrorna (1, 2, 3,

) och deras förhållanden (vanliga fraktioner eller de rationella siffrorna). Denna övertygelse skakades emellertid av upptäckten att diagonalen i en enhetsfyrkant (det vill säga en kvadrat vars sidor har en längd på 1) inte kan uttryckas som ett rationellt tal. Denna upptäckt åstadkoms av deras egna Pythagorese teorem, som konstaterade att torget på hypotenusen av en höger triangel är lika med summan av rutorna på de andra två sidorna - i modern notation, c ² = a ² + b ². I en enhetsfyrkant är diagonalen hypotenusen för en höger triangel, med sidorna a = b = 1; Därför är dess mått kvadratrot av √2 - ett irrationellt antal. Mot sina egna avsikter hade pytagoreerna därmed visat att rationella antal inte räckte för att mäta ens enkla geometriska objekt. (Se Sidofältet: Incommensurables.) Deras reaktion var att skapa en aritmetik av linjesegment, som finns i bok II av Euclids element (c. 300 f.Kr.), som inkluderade en geometrisk tolkning av rationella tal. För grekerna var linjesegmenten mer generella än siffror, eftersom de inkluderade kontinuerliga såväl som diskreta storlekar.

Faktum är att kvadratroten av √2 kan relateras till de rationella siffrorna endast via en oändlig process. Detta insågs av Euclid, som studerade aritmetiken för både rationella tal och linjesegment. Hans berömda euklidiska algoritm, när den tillämpas på ett par naturliga nummer, leder i ett begränsat antal steg till deras största gemensamma delare. Men när den appliceras på ett par linjesegment med ett irrationellt förhållande, såsom kvadratrot av 22 och 1, misslyckas det inte. Euclid använde till och med denna icke-utrotningsegenskap som ett kriterium för irrationalitet. Således utmanade irrationaliteten det grekiska antalet begrepp genom att tvinga dem att ta itu med oändliga processer.

Zenos paradoxer och begreppet rörelse

Precis som kvadratroten av ² var en utmaning för grekernas antalet begrepp, var Zenos paradoxer en utmaning för deras rörelsebegrepp. I sin fysik (ca 350 f.Kr.) citerade Aristoteles Zeno:

Det finns ingen rörelse eftersom det som flyttas måste komma fram till mitten [på kursen] innan det anländer i slutet.

Zenos argument är kända endast genom Aristoteles, som citerade dem främst för att motbevisa dem. Antagligen menade Zeno att man för att komma någonstans måste gå först halvvägs och innan den en fjärdedel av vägen och innan den en åttondel av vägen och så vidare. Eftersom denna process med halvering av avstånd skulle fortsätta till oändlighet (ett begrepp som grekerna inte skulle acceptera som möjligt), hävdade Zeno att "bevisa" att verkligheten består av förändrat varelse. Trots deras avsky mot oändligheten fann fortfarande grekerna att konceptet var oumbärligt i matematiken för kontinuerliga storheter. Så de resonerade om oändligheten så fint som möjligt, i en logisk ram som kallas teorin om proportioner och använder utmattningsmetoden.

Proportionsteorin skapades av Eudoxus ungefär 350 f.Kr. och bevarades i bok V om Euclids element. Det upprättade ett exakt förhållande mellan rationella magnituden och godtyckliga storheter genom att definiera två storlekar för att vara lika om de rationella storleken mindre än dem var desamma. Med andra ord, två storlekar var annorlunda endast om det var en rationell storhet mellan dem. Denna definition tjänade matematiker i två årtusenden och banade vägen för aritmetisering av analysen under 1800-talet, där godtyckliga nummer definierades rigoröst i termer av de rationella siffrorna. Proportionsteorin var den första noggranna behandlingen av begreppet gränser, en idé som är kärnan i modern analys. I moderna termer definierade Eudoxus 'teori godtyckliga storlekar som gränser för rationella magnitud, och grundläggande teorem om summan, skillnaden och magnitudprodukten var likvärdiga med teorem om summan, skillnaden och gränsprodukten.