János Bolyai, (född 15 december 1802, Kolozsvár, Ungern [nu Cluj, Rumänien] - död 27 januari 1860, Marosvásárhely, Ungern [nu Târgu Mureş, Rumänien]), ungerska matematiker och en av grundarna av icke-euklidisk geometri - en geometri som skiljer sig från euklidisk geometri i sin definition av parallella linjer. Upptäckten av en konsekvent alternativ geometri som kan överensstämma med universums struktur hjälpte till att frigöra matematiker att studera abstrakta begrepp oberoende av eventuell koppling till den fysiska världen.
Vid en ålder av 13 hade Bolyai behärskat calculus och analytisk mekanik under handledning av sin far, matematikern Farkas Bolyai. Han blev också en framgångsrik violinist i en tidig ålder och senare var han känd som en utmärkt svärdman. Han studerade vid Royal Engineering College i Wien (1818–22) och tjänade i arméns ingenjörskorps (1822–33).
Den äldre Bolyais upptaget av att bevisa Euclids parallella axiom infekterade hans son, och trots sin fars varningar fortsatte János i sin egen sökning efter en lösning. I början av 1820-talet drog han slutsatsen att ett bevis förmodligen var omöjligt och började utveckla en geometri som inte var beroende av Euclids axiom. 1831 publicerade han "Appendix Scientiam Spatii Absolute Veram Exhibens" ("Appendix Explaining the Absolutely True Science of Space"), ett komplett och konsekvent system med icke-euklidisk geometri som en bilaga till sin fars bok om geometri, Tentamen Juventutem Studiosam i Elementa Matheseos Purae Introducendi (1832; ”Ett försök att introducera studerande ungdomar till elementen i ren matematik”).
En kopia av detta arbete skickades till Carl Friedrich Gauss i Tyskland, som svarade att han hade upptäckt de viktigaste resultaten några år tidigare. Detta var ett djupt slag för Bolyai, även om Gauss inte hade något krav på prioritering eftersom han aldrig hade publicerat sina resultat. Bolyais uppsats gick obemärkt av andra matematiker. 1848 upptäckte han att Nikolay Ivanovich Lobachevsky hade publicerat en redogörelse för praktiskt taget samma geometri 1829.
Även om Bolyai fortsatte sina matematiska studier, erkändes vikten av hans arbete under hans livstid. Förutom att arbeta med sin icke-euklidiska geometri, utvecklade han ett geometriskt koncept av komplexa nummer som ordnade par med riktiga nummer.
